VS嵐のローリングコインタワーを物理的に考察してみた
こんにちは。マーキュリーです。
正月のVS嵐をこの前見ていて、最終決戦でローリングコインタワーがあったのですが、これなら簡単に、物理的に考えられるんじゃないかと思ったので、考察してみることにしました。
結構簡単なので、多くの人が理解できると思います。
ルールと仮定の説明
ローリングコインタワーでは上の図のように３種類のコインがあります。1チーム二人で２チームでの戦いになります。毎ターン必ず3種類のコインを積まなければなりません。４人で一人ずつ積んでいき、倒した人のチームの負けになります。
仮定としてテレビを参考にして上の図のように厚さと重さ、半径を設定しました。（ただイメージしやすいようにおいてみただけなので下の議論では一切使っていません）
また、簡単のため、積み方は上の右側の図のように、真横にしかずらさないとします。画面から見て奥にずらしたり斜め奥にずらしたりというのは無しです。常に画面に平行にずらします。
どんな時に倒れるか
2枚積んだ時
上のコインをA,下のコインをBとしましょう。重力は、図のようにコインの重心に働きます。また、BはAから垂直抗力を受けることになります。Bの重心がAの円の中にある時は、上の図の左のように垂直抗力と重力がつり合って倒れません。しかし、右のように、Bの重心がAの円の外にある時は、重力が働く重心部分に垂直抗力が働くことが出来ないので、重力と垂直抗力がつり合いません。従って、高校物理でいう力のモーメントが生じてしまって、コインは倒れることになります。
３枚以上積んだ時
もっと多く積んだ時のことを考えてみましょう。
考え方は同じです。
上の３枚と下の３枚に分けて考え、その境目から崩れ落ちるときはどのようなときか考えます。この境目の面をSとします。上の３枚の重心をまず求めます。高校物理の重心公式である、
を使えば簡単に求められるでしょう。
３枚のコインの重心というのは、そこにまとめて３枚の重力が働いているとみなしてよいという部分のことです。
ここで２枚コインを積んだ時と同じように考えることができます。上３枚の重心が、境目Sの円の中にある時は倒れず、境目Sの円の外にある時は倒れるという事になります。理由は２枚の時と一緒で、円の外に重心があると力のモーメントが生じてコインが回転し、崩れ落ちてしまうからです。
どんな時に倒れないか
次はコインが倒れないための条件はどんなものか、ということを考えていきましょう。
コインが倒れないという事は、倒れる条件が決して満たされないという事です。
上の図におい矢印が指す全ての境目で、上のところで考えた倒れる条件が満たされてしまわなければ、コインは倒れないという事になります。
実際の状況について考えてみる！
実際、上で話した理論でどんなことが考えられるのでしょうか。
１．コインが重い（厚い）ほうがコインタワーを倒してしまいやすい
これは直感的にはすぐわかることでしょう。
コインが重いほうが、上のところで紹介した重心公式により、重心をずらしてしまいやすいのです。重心をよりずらしてしまうという事は、ある境目で、上に乗っかっているコインの重心がコインの外に出てしまいやすくなるという事です。
普段は人間の感覚で重心が円の外に出ないか考えてコインをおいていることになります。
２．トリッキーな事をすると上のほうで崩れる、長期戦になると下のほうで崩れる
これもなんとなく分かるのではないでしょうか。気になる人はvs嵐のローリングコインタワーの映像を良ーく見てみてください。
まずトリッキーな事をしたときについて考えます。
トリッキーな事をすると、もちろん重心が大きくずれます。
上の図でも上のほうは少しトリッキーな事をしています。
その時、上の図の境目Aと境目Bについて考えてみましょう。どちらの面についても倒れる条件を考える際には、境目の上のコインの重心が境目の円の中に収まっているかどうかを考えることになります。
境目Aの上のコインより、境目Bの上のコインのほうが数が多いです。（当たり前のことです）
上のほうだけ重心をずらしているので、境目Aの上のコインの重心のほうが境目Bの上のコインの重心よりも大きくずれていることが分かります。（境目Bの上のコインは枚数が多いので上のほうをすこしずらしただけではそこまで重心がずれない）境目の円の外に重心が出ている可能性がより境目Aのほうが高いことになります。
こういう時はもし倒れるならば上のほうからでしょう。
次は長期戦の時を考えます。
長期戦になった場合は、みんなが安定して重心をずらさずコインを積み重ねていることになります。この時、トリッキーな事はあまりされていないはずです。慎重に慎重にやった結果、ある時倒れるというパターンでしょう。
境目Aの上のコインの重心は数が少ないのでほとんどずれることはないです。これは少ない数のコインを慎重に積んでも崩れにくいことと同じ理屈です。
しかし、境目Bの上のコインは枚数が多いです。人間の感覚がどれだけ優れていても、枚数が多ければ徐々に重心はずれていってしまいます。つまり、境目Bの円の外に境目Bの上のコインの重心が出てしまう可能性が高くなるという事です。
このように、慎重にコインを積んで長期戦になると、下のほうから崩れやすいという事が分かります。
ここで気を付けてほしいのは、トリッキーな事をすると一番上から崩れ、長期戦になると一番下から崩れるという事ではないという事です。あくまで、上「側」で崩れやすい、下「側」で崩れやすい、というだけです。
全ての境目について倒れる条件が考えられるので、実際にどこの面で倒れるかは、その時の状況ですべての面について重心を考えたときにどこの面で初めて倒れる条件が適用されるか、という事によります。
しかし、この推定はおおむね当たっていることでしょう。
別に勝てるようになるわけじゃない
残念なのが、上の理論を知ったところで別に勝てるようになるわけじゃないという事。
重心とか毎回計算してらんねえよ！
結局感覚勝負です。あと駆け引き。
なんか勝ちやすい方法あったら教えてください。（笑）
他にも「物理・数学の美しい方程式を一挙に紹介」という記事を書きました。結構力を入れて書きました。もし良ければ見ていただけると嬉しいです。
「かっこいい物理用語ランキング」という記事を書きました。気軽に読んでいただけると嬉しいです。
素粒子の論文は誰でも読めるようになっている！という話をしました。
