12月23日(日)の積分

今回は広義積分だ。

積分区間に無限大が含まれるからといって、積分が無限になるとは限らない。

また、被積分関数が積分区間内で無限大になる箇所を持つからといって、積分が無限になるとは限らない。(積分が無限大になる箇所が無限に小さいという場合がほとんど。その時はその無限同士の兼ね合いで発散するか収束するかが決まる)

上の写真に書いたやつで、②の時は積分区間内(端とか)で被積分関数が定義できないのではないか！という疑問を持つであろう。

しかし、そこの部分を極限的に除くような積分のことを、ここでは(広義積分)だと定義しているのである。

基本的に、積分区間の端っこや、積分区間の中で被積分関数が定義できない箇所があるような積分は、(広義積分)だとして、そこの箇所を極限的に除いて積分するようにしよう。

しかし、積分区間の端ではなく、積分区間の中で被積分関数が定義できない箇所(Aとする)があるような積分をする際は、Aを除いて積分するときに、Aの左側から近づける極限と、Aの右側から近づける極限の近づけ方が違うと、積分の値が変わってくるようなときがある。

その時は、左側からの近づけ方と、右側からの近づけ方を同じだと定め、そのようにしてした積分を(主値積分)だと定義して計算するようにするのである。

広義積分は、普通の積分と少し毛色が違う。しかし、極限をとるという積分というだけで、計算の仕方は基本的に同じである。