ディラック方程式は負エネルギー解の問題を解決しない

クライン・ゴルドン方程式では、確率保存則の式が上手く作れないという問題と、負エネルギー解の問題がある。

以前の記事で書いたように、ディラックの方程式は、確率保存則の問題を解決する。

feynmandiagram.hatenablog.com

しかし、ディラックの方程式は負エネルギー解の問題を解決することが出来ない。

今回はそのことについて説明していきたいと思う。

ディラック方程式は負エネルギー解の問題を解決しない

ディラック方程式は負エネルギー解の問題を解決しない

数式群（A）

$\begin{align} &i \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t)=-i \bm{\alpha}\cdot \nabla \psi(x, t)+m \beta \psi(x, t)\\ &\psi(x)=w(p) e^{-i p x}\ \ \ (px\equiv Et-\bm{p}\cdot\bm{x})\\ &(E-\bm{\alpha}\cdot \bm{p}-m \beta) w(p)=0\\ &\omega(p)\neq0\to |E-\bm{\alpha}\cdot \bm{p}-m \beta|=\left| \begin{array}{cc}{E-m} & {-\bm{p}\cdot \bm{\sigma}} \\ {-\bm{p}\cdot \bm{\sigma}} & {E+m}\end{array}\right|=0\\ &p \equiv|\boldsymbol{p}|,\bm{p}=(0,0, p)\\ &\left| \begin{array}{cccc}{E-m} & {0} & {-p} & {0} \\ {0} & {E-m} & {0} & {p} \\ {-p} & {0} & {E+m} & {0} \\ {0} & {p} & {0} & {E+m}\end{array}\right|\nonumber\\ &=(E-m) \left| \begin{array}{ccc}{E-m} & {0} & {p} \\ {0} & {E+m} & {0} \\ {p} & {0} & {E+m}\end{array}\right|-p \left| \begin{array}{ccc}{0} & {-p} & {0} \\ {E-m} & {0} & {p} \\ {p} & {0} & {E+m}\end{array}\right|\nonumber\\ &=\left(E^{2}-p^{2}-m^{2}\right)^{2}\nonumber\\ &=\left(E^{2}-\bm{p}^{2}-m^{2}\right)^{2}=0\\ &E=\sqrt{\bm{p}^{2}+m^{2}}\ \ or\ \ E=-\sqrt{\bm{p}^{2}+m^{2}} \end{align}$